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考研数学中值定理证明该怎么学

gecimao 发表于 2019-07-21 12:35 | 查看: | 回复:

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  展开全部中值定理,是反映 函数与 导数之间联系的重要定理,也是 微积分学的理论基础,在许多方面它都有重要的作用,下面分享考研数学中值定理证明思路,希望可以帮助大家。

  首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么,相当于我们的工具,那需要哪些工具呢?

  介值定理:闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数,都可以在区间上找到一点,使得这一点的函数值与之相对应。

  零点定理:闭区间连续函数,区间端点函数值符号相异,则区间内必有一点函数值为零。

  几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明:

  加强版:如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续,则在 (a, b)上至少存在一个点 ,使下式成立

  第四:变限积分求导定理: 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则积分变上限函数在[a,b]上具有导数,并且导数为:

  第五:牛顿--莱布尼茨公式:如果函数f(x) 在区间[a,b] 上连续,并且存在原函数F(x) ,则

  针对上文中具体的考点,佟老师再给出几点注意事项,这几个注意事项也是在证明题中的小信号,希望大家理解清楚并掌握:

  1. 所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的所属区间是闭区间。

  2. 拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f(x)之间的桥梁。

  4. 罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数,而柯西中值定理处理的对象是两个函数,如果结论中有两个函数,形式与柯西中值定理的形式类似,这时就要想到我们的柯西中值定理。

  像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了,一般罗尔定理的前两个条件题目均告知,只是要需找两个不同点的函数值相等,需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂,需要建立辅助函数,再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理,处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。

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