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相交弦定理怎么证明

gecimao 发表于 2019-07-07 01:53 | 查看: | 回复:

  若圆内任意弦AB、弦CD交于点P,则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)。

  相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

  当P点在圆内时称为相交弦定理,当P点在圆上时称为切割线定理,当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中OP-R称为P点对圆O的幂。(R为圆O的半径)

  相交弦定理的推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。若a:b=b:c, 则称b为a、c的比例中项。

  这个推论揭示了弦与直径垂直相交的性质。推论在解题中有较广泛的应用,并给出了作两条已知线段比例中项的方法。

  证明:连结AC,BD,由圆周角定理的推论,得∠A=∠D,∠C=∠B。(圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.)∴△PAC∽△PDB,∴PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD

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